Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 2$

Step 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$4 x^{3}$

Step 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2})$

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Step 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 x^{3} = 0$

Step 4

Obtén la primera derivada.

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Obtén la primera derivada.

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Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 0$

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Step 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} = 0$ .

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Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} = 0$

Divide cada término en $4 x^{3} = 0$ por $4$ y simplifica.

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Divide cada término en $4 x^{3} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $4$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $4$ .

$x^{3} = 0$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Step 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Step 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Step 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(0)}^{2}$

Step 9

Evalúa la segunda derivada.

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Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 \cdot 0$

Multiplica $12$ por $0$ .

$0$

Step 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $4 x^{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3}$

Simplifica el resultado.

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Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8$

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32$

La respuesta final es $- 32$ .

$- 32$

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, \infty)$ en la primera derivada $4 x^{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3}$

Simplifica el resultado.

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Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8$

Multiplica $4$ por $8$ .

$f' (2) = 32$

La respuesta final es $32$ .

$32$

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un mínimo local.

$x = 0$ es un mínimo local

Step 11