Álgebra Ejemplos

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}]$

Step 1

Obtén la matriz inversa.

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La inversa de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse mediante la fórmula $\frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , en la que $| A |$ es el determinante de $A$ .

Si $A = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$ entonces $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$

Obtén el determinante de $[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

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Estas son dos notaciones válidas para el determinante de una matriz.

$determinante [\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array}] = | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(- 1) (2) + 3 \cdot 1$

Simplifica el determinante.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1$

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 2 + 3$

Suma $- 2$ y $3$ .

$1$

Sustituye los valores conocidos en la fórmula para la inversa de una matriz.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 2 & - (1) \\ - (- 3) & - 1 \end{array}]$

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Reorganiza $- (1)$ .

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - (- 3) & - 1 \end{array}]$

Reorganiza $- (- 3)$ .

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}]$

Multiplica $\frac{1}{1}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{1} \cdot 2 & \frac{1}{1} \cdot - 1 \\ \frac{1}{1} \cdot 3 & \frac{1}{1} \cdot - 1 \end{array}]$

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Reorganiza $\frac{1}{1} \cdot 2$ .

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{1}{1} \cdot - 1 \\ \frac{1}{1} \cdot 3 & \frac{1}{1} \cdot - 1 \end{array}]$

Reorganiza $\frac{1}{1} \cdot - 1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ \frac{1}{1} \cdot 3 & \frac{1}{1} \cdot - 1 \end{array}]$

Reorganiza $\frac{1}{1} \cdot 3$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & \frac{1}{1} \cdot - 1 \end{array}]$

Reorganiza $\frac{1}{1} \cdot - 1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}]$

Step 2

Bajo el supuesto de que $X$ es la matriz que deseas resolver, multiplica la matriz inversa por ambos lados de la ecuación.

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}] \cdot ([\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array}] x) = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}]$

Step 3

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 2 \cdot - 1 - 1 \cdot - 3 & 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot - 1 - 1 \cdot - 3 & 3 \cdot 1 - 1 \cdot 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}]$

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}]$

Multiplicar la matriz de identidades por cualquier matriz $x$ es una matriz $x$ .

$x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}]$

Step 4

Simplifica el lado derecho de la ecuación.

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Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$x = [\begin{array}{c} 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6 \\ 3 \cdot 3 - 1 \cdot 6 \end{array}]$

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$x = [\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array}]$

La matriz está en la forma más simplificada.

$x = [\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array}]$

Step 5

Si se resuelve para las variables en $[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ , la respuesta es $x = 0, y = 3$ .

$x = 0, y = 3$