Álgebra Ejemplos

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Step 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 5$

$b = 12$

$k = 0$

$h = 6$

Step 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(6, 0)$

Step 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}$

Simplifica.

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Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + {(12)}^{2}}$

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + 144}$

Suma $25$ y $144$ .

$\sqrt{169}$

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

$\sqrt{13^{2}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$13$

Step 6

Obtén los vértices.

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El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(6, 5)$

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(6, - 5)$

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(6, 5), (6, - 5)$

Step 7

Obtén los focos.

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El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(6, 13)$

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(6, - 13)$

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(6, 13), (6, - 13)$

Step 8

Obtén la excentricidad.

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Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}}{5}$

Simplifica el numerador.

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Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 12^{2}}}{5}$

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 144}}{5}$

Suma $25$ y $144$ .

$\frac{\sqrt{169}}{5}$

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{5}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{13}{5}$

Step 9

Obtén el parámetro focal.

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Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{12^{2}}{13}$

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$\frac{144}{13}$

Step 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Step 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Elimina los paréntesis.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Simplifica $\frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ .

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Simplifica la expresión.

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Suma $\frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ y $0$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot - 6$

Combina $\frac{5}{12}$ y $x$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot - 6$

Cancela el factor común de $6$ .

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Factoriza $6$ de $12$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 (2)} \cdot - 6$

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Cancela el factor común.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Reescribe la expresión.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2} \cdot - 1$

Combina $\frac{5}{2}$ y $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Simplifica la expresión.

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Multiplica $5$ por $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{- 5}{2}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$

Step 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Simplifica $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ .

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Simplifica los términos.

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Suma $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ y $0$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 6$

Combina $x$ y $\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 6$

Cancela el factor común de $6$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{12}$ al numerador.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot - 6$

Factoriza $6$ de $12$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 (2)} \cdot - 6$

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{2} \cdot - 1$

Combina $\frac{- 5}{2}$ y $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5 \cdot - 1}{2}$

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{2}$

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(6, 0)$

Vértices: $(6, 5), (6, - 5)$

Focos: $(6, 13), (6, - 13)$

Excentricidad: $\frac{13}{5}$

Parámetro focal: $\frac{144}{13}$

Asíntotas: $y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 15