Álgebra Ejemplos

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Step 1

Asigna a la matriz el nombre $A$ para simplificar las descripciones a lo largo del problema.

$A = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Step 2

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A + (- λ I_{2}))$

Step 3

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Step 4

Resta los valores propios por la matriz de identidades de la matriz original.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Reorganiza $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Reorganiza $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Reorganiza $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Reorganiza $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}]$

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Simplifica cada elemento de la matriz $[\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$ .

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Simplifica $2 + 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Simplifica $3 + 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

Step 5

Obtén el determinante de $[\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$ .

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Estas son dos notaciones válidas para el determinante de una matriz.

$determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}] = | \begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array} |$

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Simplifica el determinante.

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Simplifica cada término.

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Expande $(4 - λ) (1 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 4 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $4$ por $1$ .

$p (λ) = 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot (- 1 λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Mueve $λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot (- 1 (λ \cdot λ)) - 3 \cdot 2$

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot (- 1 λ^{2}) - 3 \cdot 2$

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Resta $λ$ de $- 4 λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

Resta $6$ de $4$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

Step 6

Reordena el polinomio.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

Step 7

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Step 8

Obtén las raíces de $λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$ mediante la resolución de $λ$ .

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Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 5$ y $c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $λ$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Suma $25$ y $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Suma $25$ y $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Cambia $\pm$ a $+$ .

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Suma $25$ y $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Cambia $\pm$ a $-$ .

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Step 9

El vector propio de $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ es igual al espacio nulo de la matriz menos el valor propio, multiplicado por la matriz de identidades.

$ε_{A} (\frac{5 + \sqrt{33}}{2}) = N (A - λ I_{2})$

Step 10

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]}$

Step 11

Simplifica la expresión de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Reorganiza $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Reorganiza $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Reorganiza $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Reorganiza $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Simplifica cada elemento de la matriz $[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$ .

Toca para ver más pasos...

Simplifica $4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Simplifica $2 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Simplifica $3 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Simplifica $1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Step 12

Obtén la forma escalonada reducida de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Realiza la operación de fila $R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$ en $R_{1}$ (fila $1$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $1$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con la operación de la fila $R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1} & - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1} \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{3 + \sqrt{33}}{12}) \cdot (\frac{3 - \sqrt{33}}{2}) & (- \frac{3 + \sqrt{33}}{12}) \cdot (2) \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Simplifica $R_{1}$ (fila $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Realiza la operación de fila $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ en $R_{2}$ (fila $2$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación de la fila $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ - 3 \cdot R_{1} + R_{2} & - 3 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ (- 3) \cdot (1) + 3 & (- 3) \cdot (- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}) - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 0 & 0 \end{array}]$

Step 13

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x_{1} - \frac{(3 + \sqrt{33}) x_{2}}{6} = 0$

Step 14

Esta expresión es la solución establecida para el sistema de ecuaciones.

${(\frac{(3 + \sqrt{33}) x_{2}}{6}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

Step 15

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{(3 + \sqrt{33}) x_{2}}{6} \\ x_{2} \end{array}]$

Step 16

Expresa el vector como una combinación lineal de vector de columna con las propiedades de la suma de columna de vector.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Step 17

El espacio nulo del conjunto es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.

${[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 18

El vector propio de $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ es igual al espacio nulo de la matriz menos el valor propio, multiplicado por la matriz de identidades.

$ε_{A} (\frac{5 - \sqrt{33}}{2}) = N (A - λ I_{2})$

Step 19

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]}$

Step 20

Simplifica la expresión de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Reorganiza $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Reorganiza $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Reorganiza $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Reorganiza $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Simplifica cada elemento de la matriz $[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$ .

Toca para ver más pasos...

Simplifica $4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Simplifica $2 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Simplifica $3 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Simplifica $1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Step 21

Obtén la forma escalonada reducida de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Realiza la operación de fila $R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$ en $R_{1}$ (fila $1$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $1$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con la operación de la fila $R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1} & - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1} \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{3 - \sqrt{33}}{12}) \cdot (\frac{3 + \sqrt{33}}{2}) & (- \frac{3 - \sqrt{33}}{12}) \cdot (2) \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Simplifica $R_{1}$ (fila $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Realiza la operación de fila $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ en $R_{2}$ (fila $2$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación de la fila $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ - 3 \cdot R_{1} + R_{2} & - 3 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ (- 3) \cdot (1) + 3 & (- 3) \cdot (- \frac{3 - \sqrt{33}}{6}) - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 0 & 0 \end{array}]$

Step 22

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x_{1} - \frac{(3 - \sqrt{33}) x_{2}}{6} = 0$

Step 23

Esta expresión es la solución establecida para el sistema de ecuaciones.

${(\frac{(3 - \sqrt{33}) x_{2}}{6}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

Step 24

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{(3 - \sqrt{33}) x_{2}}{6} \\ x_{2} \end{array}]$

Step 25

Expresa el vector como una combinación lineal de vector de columna con las propiedades de la suma de columna de vector.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Step 26

El espacio nulo del conjunto es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.

${[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 27

El espacio propio de $A$ es la unión del espacio vectorial para cada valor propio.

${[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]} \cup {[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 28