Álgebra Ejemplos

$- 2 + \ln (x)$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = - 2 + \ln (y)$

Step 2

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $- 2 + \ln (y) = x$ .

$- 2 + \ln (y) = x$

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\ln (y) = x + 2$

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{x + 2}$

Reescribe $\ln (y) = x + 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + 2} = y$

Reescribe la ecuación como $y = e^{x + 2}$ .

$y = e^{x + 2}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x + 2}$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = e^{x + 2}$ es la inversa de $f (x) = - 2 + \ln (x)$ .

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Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Evalúa $f^{- 1} (- 2 + \ln (x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 + \ln (x)) = e^{(- 2 + \ln (x)) + 2}$

Combina los términos opuestos en $(- 2 + \ln (x)) + 2$ .

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Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (- 2 + \ln (x)) = e^{0 + \ln (x)}$

Suma $0$ y $\ln (x)$ .

$f^{- 1} (- 2 + \ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (- 2 + \ln (x)) = x$

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Evalúa $f (e^{x + 2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (e^{x + 2}) = - 2 + \ln (e^{x + 2})$

Simplifica cada término.

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Usa las reglas de logaritmos para mover $x + 2$ fuera del exponente.

$f (e^{x + 2}) = - 2 + (x + 2) \ln (e)$

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (e^{x + 2}) = - 2 + (x + 2) \cdot 1$

Multiplica $x + 2$ por $1$ .

$f (e^{x + 2}) = - 2 + x + 2$

Combina los términos opuestos en $- 2 + x + 2$ .

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Suma $- 2$ y $2$ .

$f (e^{x + 2}) = x + 0$

Suma $x$ y $0$ .

$f (e^{x + 2}) = x$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = e^{x + 2}$ es la inversa de $f (x) = - 2 + \ln (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x + 2}$