Trigonometrie Beispiele

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 6 \\ c = & 10 \\ a = & 8 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Step 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Step 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Step 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(6)}^{2} + {(10)}^{2} - {(8)}^{2}}{2 (6) (10)})$

Step 4

Vereinfache die Ergebnisse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $6$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{36 + 10^{2} - 8^{2}}{2 (6) \cdot 10})$

Potenziere $10$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{36 + 100 - 8^{2}}{2 (6) \cdot 10})$

Potenziere $8$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{36 + 100 - 1 \cdot 64}{2 (6) \cdot 10})$

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$A = \arccos (\frac{36 + 100 - 64}{2 (6) \cdot 10})$

Addiere $36$ und $100$ .

$A = \arccos (\frac{136 - 64}{2 (6) \cdot 10})$

Subtrahiere $64$ von $136$ .

$A = \arccos (\frac{72}{2 (6) \cdot 10})$

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$A = \arccos (\frac{72}{12 \cdot 10})$

Mutltipliziere $12$ mit $10$ .

$A = \arccos (\frac{72}{120})$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $72$ und $120$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $24$ aus $72$ heraus.

$A = \arccos (\frac{24 (3)}{120})$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $24$ aus $120$ heraus.

$A = \arccos (\frac{24 \cdot 3}{24 \cdot 5})$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \arccos (\frac{24 \cdot 3}{24 \cdot 5})$

Forme den Ausdruck um.

$A = \arccos (\frac{3}{5})$

Berechne $\arccos (\frac{3}{5})$ .

$A = 53.13010235$

Step 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Step 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Step 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(8)}^{2} + {(10)}^{2} - {(6)}^{2}}{2 (8) (10)})$

Step 8

Vereinfache die Ergebnisse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $8$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{64 + 10^{2} - 6^{2}}{2 (8) \cdot 10})$

Potenziere $10$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{64 + 100 - 6^{2}}{2 (8) \cdot 10})$

Potenziere $6$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{64 + 100 - 1 \cdot 36}{2 (8) \cdot 10})$

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$B = \arccos (\frac{64 + 100 - 36}{2 (8) \cdot 10})$

Addiere $64$ und $100$ .

$B = \arccos (\frac{164 - 36}{2 (8) \cdot 10})$

Subtrahiere $36$ von $164$ .

$B = \arccos (\frac{128}{2 (8) \cdot 10})$

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$B = \arccos (\frac{128}{16 \cdot 10})$

Mutltipliziere $16$ mit $10$ .

$B = \arccos (\frac{128}{160})$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $128$ und $160$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $32$ aus $128$ heraus.

$B = \arccos (\frac{32 (4)}{160})$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $32$ aus $160$ heraus.

$B = \arccos (\frac{32 \cdot 4}{32 \cdot 5})$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \arccos (\frac{32 \cdot 4}{32 \cdot 5})$

Forme den Ausdruck um.

$B = \arccos (\frac{4}{5})$

Berechne $\arccos (\frac{4}{5})$ .

$B = 36.86989764$

Step 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$53.13010235 + C + 36.86989764 = 180$

Step 10

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Addiere $53.13010235$ und $36.86989764$ .

$C + 90 = 180$

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere $90$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 90$

Subtrahiere $90$ von $180$ .

$C = 90$

Step 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 53.13010235$

$B = 36.86989764$

$C = 90$

$a = 8$

$b = 6$

$c = 10$