Trigonometrie Beispiele

$y = \tan (\frac{π}{5} x)$

Step 1

Finde die Asymptoten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \tan (\frac{π x}{5})$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \tan (\frac{π x}{5})$ auftritt.

$\frac{π x}{5} = - \frac{π}{2}$

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{5}{π}$ .

$\frac{5}{π} \cdot \frac{π x}{5} = \frac{5}{π} (- \frac{π}{2})$

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache $\frac{5}{π} \cdot \frac{π x}{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{π} \cdot \frac{π x}{5} = \frac{5}{π} (- \frac{π}{2})$

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{5}{π} (- \frac{π}{2})$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{5}{π} (- \frac{π}{2})$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{5}{π} (- \frac{π}{2})$

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{π} (- \frac{π}{2})$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache $\frac{5}{π} (- \frac{π}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$x = \frac{5}{π} \cdot \frac{- π}{2}$

Faktorisiere $π$ aus $- π$ heraus.

$x = \frac{5}{π} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{5}{π} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Forme den Ausdruck um.

$x = 5 (\frac{- 1}{2})$

Kombiniere $5$ und $\frac{- 1}{2}$ .

$x = \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Setze das Innere der Tangensfunktion $\frac{π x}{5}$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{5} = \frac{π}{2}$

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{5}{π}$ .

$\frac{5}{π} \cdot \frac{π x}{5} = \frac{5}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache $\frac{5}{π} \cdot \frac{π x}{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{π} \cdot \frac{π x}{5} = \frac{5}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{5}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{5}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{5}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache $\frac{5}{π} \cdot \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{5}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Forme den Ausdruck um.

$x = 5 (\frac{1}{2})$

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5}{2}$

Die fundamentale Periode für $y = \tan (\frac{π x}{5})$ tritt auf bei $(- \frac{5}{2}, \frac{5}{2})$ , wobei $- \frac{5}{2}$ und $\frac{5}{2}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{2})$

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

$\frac{π}{5}$ ist ungefähr $0.62831853$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{π}{5}}$

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \frac{5}{π}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \frac{5}{π}$

Forme den Ausdruck um.

$5$

Die vertikalen Asymptoten für $y = \tan (\frac{π x}{5})$ treten auf bei $- \frac{5}{2}$ , $\frac{5}{2}$ und aller $5 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = \frac{5}{2} + 5 n$

Der Tangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{5}{2} + 5 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{5}{2} + 5 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Step 2

Wende die Form $a \tan (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 1$

$b = \frac{π}{5}$

$c = 0$

$d = 0$

Step 3

Da der Graph der Funktion $t a n$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Step 4

Ermittele die Periode von $\tan (\frac{π x}{5})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{5}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{π}{5} |}$

$\frac{π}{5}$ ist ungefähr $0.62831853$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{π}{5}}$

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \frac{5}{π}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \frac{5}{π}$

Forme den Ausdruck um.

$5$

Step 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{0}{\frac{π}{5}}$

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $0 (\frac{5}{π})$

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{5}{π}$ .

Phasenverschiebung: $0$

Step 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $5$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Step 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{5}{2} + 5 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $5$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Step 8