Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{\frac{\cos (x)}{\tan (x)}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{\cos (x)}{\tan (x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\tan (x) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{\cos (x)}{\tan (x)}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{\cos (x)}{\tan (x)} < 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$\cos (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Schritt 4.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 4.5

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.5.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.5.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 4.5.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 4.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.8

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 4.9

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.9.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.10

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 4.11

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 4.12

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 4.12.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.12.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.12.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.12.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.13

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.14

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

$x = π n, π + π n$

Schritt 4.15

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π n, π + π n$

Schritt 4.16

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{\cos (x)}{\tan (x)}$ .

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Schritt 4.16.1

Setze den Nenner in $\frac{\cos (x)}{\tan (x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\tan (x) = 0$

Schritt 4.16.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.16.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 4.16.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.16.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.16.2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 4.16.2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 4.16.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 4.16.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.16.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.16.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.16.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.16.2.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.16.2.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.16.3

Setze das Argument in $\tan (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.16.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${x | x \neq π n, x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.17

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$

Schritt 4.18

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 4.18.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.18.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 4.18.1.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{\cos (1)}{\tan (1)} < 0$

Schritt 4.18.1.3

Die linke Seite $0.34692412$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.18.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{2} < x < π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.18.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{2} < x < π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 4.18.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{\cos (2)}{\tan (2)} < 0$

Schritt 4.18.2.3

Die linke Seite $0.19045274$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.18.3

Teste einen Wert im Intervall $π < x < \frac{3 π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.18.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $π < x < \frac{3 π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 4.18.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{\cos (4)}{\tan (4)} < 0$

Schritt 4.18.3.3

Die linke Seite $- 0.56454621$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 4.18.4

Teste einen Wert im Intervall $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.18.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 4.18.4.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{\cos (5)}{\tan (5)} < 0$

Schritt 4.18.4.3

Die linke Seite $- 0.08391093$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 4.18.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Falsch

$\frac{π}{2} < x < π$ Falsch

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Wahr

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Wahr

$0 < x < \frac{π}{2}$ Falsch

$\frac{π}{2} < x < π$ Falsch

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Wahr

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Wahr

Schritt 4.19

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ oder $\frac{3 π}{2} + π n < x < 2 π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Setze das Argument in $\tan (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${x | x = π n, x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7