Trigonometrie Beispiele

$\sin (- x) = \cos (x)$

Step 1

Vereinfache die linke Seite.

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Da $\sin (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- x)$ als $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) = \cos (x)$

Step 2

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Step 3

Separiere Brüche.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Step 4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Step 5

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \tan (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Step 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \tan (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Forme den Ausdruck um.

$- \tan (x) = 1$

Step 7

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Vereinfache die linke Seite.

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Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Vereinfache die rechte Seite.

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Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Step 8

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Step 9

Vereinfache die rechte Seite.

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Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Step 10

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Step 11

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Step 12

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Step 13

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Kombiniere Brüche.

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Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Vereinfache den Zähler.

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Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Step 14

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Step 15

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$