Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Step 1

Vertausche die Variablen.

$x = \cos^{2} (y) - \sin^{2} (y)$

Step 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe die Gleichung als $\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = x$ um.

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = x$

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) - x = 0$

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 y) - x = 0$

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (2 y) = x$

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 y = \arccos (x)$

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arccos (x)$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arccos (x)$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arccos (x)}{2}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$

Step 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Berechne $f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \frac{\arccos (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))}{2}$

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Berechne $f (\frac{\arccos (x)}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin^{2} (\frac{\arccos (x)}{2})$

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ und $b = \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Multipliziere $(\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ und $\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ neu an.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Addiere $- \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ und $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + 0 + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Addiere $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ und $0$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $\cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ mit $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Potenziere $\cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ mit $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = {\cos (\frac{\arccos (x)}{2})}^{1 + 1} + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$

Multipliziere $- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $\sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ mit $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - (\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Potenziere $\sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ mit $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - (\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - {\sin (\frac{\arccos (x)}{2})}^{1 + 1}$

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin^{2} (\frac{\arccos (x)}{2})$

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\arccos (x))$

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = x$

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$