Trigonometrie Beispiele

$\tan (- x) \csc (x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \tan (- y) \csc (y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\tan (- y) \csc (y) = x$ um.

$\tan (- y) \csc (y) = x$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\tan (- y) \csc (y)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Da $\tan (- y)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\tan (- y)$ als $- \tan (y)$ .

$- \tan (y) \csc (y) = x$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.1

Füge Klammern hinzu.

$- (\tan (y) \csc (y)) = x$

Schritt 2.2.1.2.2

Schreibe $- \tan (y) \csc (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{1}{\sin (y)}) = x$

Schritt 2.2.1.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$- \frac{1}{\cos (y)} = x$

Schritt 2.2.1.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (y)}$ nach $\sec (y)$ um.

$- \sec (y) = x$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- \sec (y) = x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sec (y) = x$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sec (y)}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sec (y)}{1} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2

Dividiere $\sec (y)$ durch $1$ .

$\sec (y) = \frac{x}{- 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$\sec (y) = - 1 \cdot x$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$\sec (y) = - x$

Schritt 2.4

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Sekans zu ziehen.

$y = arcsec (- x)$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arcsec (- x)$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = arcsec (- x)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \tan (- x) \csc (x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\tan (- x) \csc (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\tan (- x) \csc (x)) = arcsec (- (\tan (- x) \csc (x)))$

Schritt 4.2.3

Da $\tan (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\tan (- x)$ als $- \tan (x)$ .

$f^{- 1} (\tan (- x) \csc (x)) = arcsec (- (- \tan (x) \csc (x)))$

Schritt 4.2.4

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.1

Füge Klammern hinzu.

$f^{- 1} (\tan (- x) \csc (x)) = arcsec (\tan (x) \csc (x))$

Schritt 4.2.4.2

Schreibe $- (- \tan (x) \csc (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$f^{- 1} (\tan (- x) \csc (x)) = arcsec (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})$

Schritt 4.2.4.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$f^{- 1} (\tan (- x) \csc (x)) = arcsec (\frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 4.2.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$f^{- 1} (\tan (- x) \csc (x)) = arcsec (\sec (x))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (arcsec (- x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (arcsec (- x)) = \tan (- (arcsec (- x))) \csc (arcsec (- x))$

Schritt 4.3.3

Da $\tan (- arcsec (- x))$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\tan (- arcsec (- x))$ als $- \tan (arcsec (- x))$ .

$f (arcsec (- x)) = - \tan (arcsec (- x)) \csc (arcsec (- x))$

Schritt 4.3.4

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.4.1

Füge Klammern hinzu.

$f (arcsec (- x)) = - (\tan (arcsec (- x)) \csc (arcsec (- x)))$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe $- \tan (arcsec (- x)) \csc (arcsec (- x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$f (arcsec (- x)) = - (\frac{\sin (arcsec (- x))}{\cos (arcsec (- x))} \cdot \frac{1}{\sin (arcsec (- x))})$

Schritt 4.3.4.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$f (arcsec (- x)) = - \frac{1}{\cos (arcsec (- x))}$

Schritt 4.3.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (arcsec (- x))}$ nach $\sec (arcsec (- x))$ um.

$f (arcsec (- x)) = - \sec (arcsec (- x))$

Schritt 4.3.6

Die Funktionen Sekans und Arkussekans sind Inverse.

$f (arcsec (- x)) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = arcsec (- x)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \tan (- x) \csc (x)$ .

$f^{- 1} (x) = arcsec (- x)$