Trigonometrie Beispiele

$\sec (x) - \cos (x) = \tan (x) \sin (x)$

Step 1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \tan (x) \sin (x)$

Step 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Vereinfache $\tan (x) \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$

Multipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

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Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Forme den Ausdruck um.

$1 + \cos (x) (- \cos (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 - \cos (x) \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 7

Multipliziere $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 - (\cos^{1} (x) \cos (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - {\cos (x)}^{1 + 1} = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sin^{2} (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin^{2} (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Forme den Ausdruck um.

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Step 10

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

Step 11

Löse nach $x$ auf.

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Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

Löse $\sin (x) = \sin (x)$ nach $x$ auf.

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Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.

$x = x$

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - x = 0$

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$0 = 0$

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Alle reellen Zahlen

Löse $\sin (x) = - \sin (x)$ nach $x$ auf.

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Bringe alle Terme, die $\sin (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Addiere $\sin (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

Addiere $\sin (x)$ und $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) = 0$

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

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Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Vereinfache die rechte Seite.

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Dividiere $0$ durch $2$ .

$\sin (x) = 0$

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Vereinfache die rechte Seite.

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Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Step 12

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$