Trigonometrie Beispiele

$\cos (\arcsin (\frac{x}{5}))$

Step 1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}, \frac{x}{5})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (\frac{x}{5})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}, \frac{x}{5})$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (\frac{x}{5}))$ $\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Step 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{x}{5}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

Step 3

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})}$

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}}$

Mutltipliziere $\frac{5 + x}{5}$ mit $\frac{5 - x}{5}$ .

$\sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}}$

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}}$

Step 4

Schreibe $\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}$ als ${(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(5 + x) (5 - x)$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}}$

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}$

Step 5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Step 6

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$