Elementarmathematik Beispiele

$(1, 2)$ , $(2, 9)$

Step 1

Die Gleichung zur Ermittlung des Winkels zwischen zwei Vektoren $θ$ besagt, dass das Skalarprodukt der zwei Vektoren gleich dem Produkt der Beträge der Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen ist.

$u \cdot v = | u | | v | c o s (θ)$

Step 2

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

$θ = a r c \cdot c o s (\frac{u \cdot v}{| u | | v |})$

Step 3

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren.

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Um das Skalarprodukt zu ermitteln, bestimme die Summe der Produkte entsprechender Komponenten der Vektoren.

$u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}$

Setze die Komponenten der Vektoren in den Ausdruck ein.

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Vereinfache.

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Entferne die Klammern.

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2 \cdot 9$

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$2 + 18$

Addiere $2$ und $18$ .

$20$

Step 4

Bestimme den Betrag von $u$ .

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Um den Betrag eines Vektors zu ermitteln, berechne die Quadratwurzel der Summe der Komponenten des Vektors zum Quadrat.

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

Setze die Komponenten des Vektors in den Ausdruck ein.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Vereinfache.

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Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + {(2)}^{2}}$

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{1 + 4}$

Addiere $1$ und $4$ .

$\sqrt{5}$

Step 5

Bestimme den Betrag von $v$ .

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Um den Betrag eines Vektors zu ermitteln, berechne die Quadratwurzel der Summe der Komponenten des Vektors zum Quadrat.

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

Setze die Komponenten des Vektors in den Ausdruck ein.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(9)}^{2}}$

Vereinfache.

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Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + {(9)}^{2}}$

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + 81}$

Addiere $4$ und $81$ .

$\sqrt{85}$

Step 6

Setze die Werte in die Gleichung für den Winkel zwischen den Vektoren ein.

$θ = \arccos (\frac{20}{(\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{85})})$

Step 7

Vereinfache.

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Vereinfache den Nenner.

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Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})$

Mutltipliziere $5$ mit $85$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

Vereinfache den Nenner.

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Schreibe $425$ als $5^{2} \cdot 17$ um.

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Faktorisiere $25$ aus $425$ heraus.

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})$

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $5$ .

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Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt{17}$ heraus.

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})})$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Forme den Ausdruck um.

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}})$

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{17}}$ mit $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{17}}$ mit $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

Potenziere $\sqrt{17}$ mit $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

Potenziere $\sqrt{17}$ mit $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

Addiere $1$ und $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

Schreibe ${\sqrt{17}}^{2}$ als $17$ um.

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Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{17}$ als $17^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Forme den Ausdruck um.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{1}})$

Berechne den Exponenten.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$

Berechne $\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$ .

$0.24497866$