Elementarmathematik Beispiele

$y = - 3 x^{6} + 2 x^{4} + x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - 3 x^{6} + 2 x^{4} + x^{2}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 x^{6} + 2 x^{4} + x^{2} = 0$ um.

$- 3 x^{6} + 2 x^{4} + x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- 3 x^{6} + 2 x^{4} + x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- 3 x^{6}$ heraus.

$- x^{2} (3 x^{4}) + 2 x^{4} + x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$- x^{2} (3 x^{4}) - x^{2} (- 2 x^{2}) + x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $x^{2}$ heraus.

$- x^{2} (3 x^{4}) - x^{2} (- 2 x^{2}) - x^{2} \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- x^{2} (3 x^{4}) - x^{2} (- 2 x^{2})$ heraus.

$- x^{2} (3 x^{4} - 2 x^{2}) - x^{2} \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- x^{2} (3 x^{4} - 2 x^{2}) - x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$- x^{2} (3 x^{4} - 2 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x^{2} (3 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x^{2} (3 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.2.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 1.2.2.4.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 u$ heraus.

$- x^{2} (3 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.4.1.2

Schreibe $- 2$ um als $1$ plus $- 3$

$- x^{2} (3 u^{2} + (1 - 3) u - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} (3 u^{2} + 1 u - 3 u - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.4.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$- x^{2} (3 u^{2} + u - 3 u - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- x^{2} ((3 u^{2} + u) - 3 u - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- x^{2} (u (3 u + 1) - (3 u + 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u + 1$ .

$- x^{2} ((3 u + 1) (u - 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x^{2} ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- x^{2} ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Schritt 1.2.2.7

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.7.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.7.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$- x^{2} ((3 x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Schritt 1.2.2.7.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x^{2} ((3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x^{2} (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $3 x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $3 x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $3 x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = - 1$

Schritt 1.2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Schreibe $- \frac{1}{3}$ als $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ um.

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Schritt 1.2.5.2.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.2.4.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.2.4.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 1.2.5.2.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.2.4.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.2.4.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 1.2.5.2.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.5.2.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.2.5.2.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.2.5.2.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.5.2.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.5.2.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.2.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.2.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.2.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 1.2.5.2.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.5.2.4.8

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.7

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x^{2} (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, - 1, 1$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- 1, 0), (1, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - 3 {(0)}^{6} + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 3 \cdot 0^{6} + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - 3 \cdot 0^{6} + 2 \cdot 0^{4} + {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = - 3 \cdot 0^{6} + 2 \cdot 0^{4} + 0^{2}$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = - 3 {(0)}^{6} + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $- 3 {(0)}^{6} + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 3 \cdot 0 + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$y = 0 + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.5.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 2 \cdot 0 + {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.5.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.5.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.5.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- 1, 0), (1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4