Elementarmathematik Beispiele

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Step 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Step 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Step 3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Multipliziere $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Step 4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Step 5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{7 π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{7 π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Multipliziere $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $\frac{7 π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Step 6

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Step 7

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Addiere $π$ zu $- \frac{π}{12}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{12} + π$

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Kombiniere Brüche.

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Kombiniere $π$ und $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Vereinfache den Zähler.

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Bringe $12$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{12}$

Step 8

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$