Elementarmathematik Beispiele

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Step 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Step 3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Step 4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

Step 5

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$2 x = \frac{7 π}{4}$

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{7 π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{7 π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Multipliziere $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $\frac{7 π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Step 6

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Step 7

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$