Elementarmathematik Beispiele

$\sin (2 x) + \cos (x) = 0$

Step 1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) = 0$

Step 2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{1} (x)$ heraus.

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 = 0$

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$ heraus.

$\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Step 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Step 4

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Step 5

Setze $2 \sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $2 \sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Löse $2 \sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x) = - 1$

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

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Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Vereinfache die rechte Seite.

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Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Vereinfache die rechte Seite.

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Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{6}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{6}$

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Step 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Step 7

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$