Elementarmathematik Beispiele

$2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) + 1 = 0$

Step 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 \sin (x)$ heraus.

$2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) + 1 = 0$

Schreibe $- 3$ um als $- 1$ plus $- 2$

$2 \sin^{2} (x) + (- 1 - 2) \sin (x) + 1 = 0$

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) - (2 \sin (x) - 1) = 0$

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 \sin (x) - 1$ .

$(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Step 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Step 3

Setze $2 \sin (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $2 \sin (x) - 1$ gleich $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Löse $2 \sin (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x) = 1$

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Step 4

Setze $\sin (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $\sin (x) - 1$ gleich $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Löse $\sin (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = 1$

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Step 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$