Analysis Beispiele

$y = x + \frac{1}{x}$

Step 1

Schreibe $y = x + \frac{1}{x}$ als Funktion.

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Step 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Step 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Addiere $2 x^{- 3}$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

Vereinfache.

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Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Vereine die Terme

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Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

Addiere $\frac{2}{x^{3}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Step 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Step 5

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 - x^{- 2}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Step 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ mit $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Vereinfache die linke Seite.

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Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - x^{2}$

Löse die Gleichung.

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Schreibe die Gleichung als $- x^{2} = - 1$ um.

$- x^{2} = - 1$

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Vereinfache die linke Seite.

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Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Vereinfache die rechte Seite.

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Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Step 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Löse nach $x$ auf.

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Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Step 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1, - 1$

Step 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2}{{(1)}^{3}}$

Step 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{1}$

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Step 11

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Step 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = (1) + \frac{1}{1}$

Vereinfache das Ergebnis.

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Dividiere $1$ durch $1$ .

$f (1) = 1 + 1$

Addiere $1$ und $1$ .

$f (1) = 2$

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$y = 2$

Step 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Step 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{- 1}$

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$- 2$

Step 15

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum

Step 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = (- 1) + \frac{1}{- 1}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 - 1$

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$f (- 1) = - 2$

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$y = - 2$

Step 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

$(1, 2)$ ist ein lokales Minimum

$(- 1, - 2)$ ist ein lokales Maximum

Step 18