Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} e^{4 x}$

Step 1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

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Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{4 x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Differenziere.

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Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$f' (x) = x^{2} (4 \cdot e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 4 e^{4 x} x^{2} + 2 e^{4 x} x$

Stelle die Faktoren in $4 e^{4 x} x^{2} + 2 e^{4 x} x$ um.

$f' (x) = 4 x^{2} e^{4 x} + 2 x e^{4 x}$

Bestimme die zweite Ableitung.

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Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} e^{4 x} + 2 x e^{4 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{4 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{4 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2} e^{4 x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{4 x}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

$f'' (x) = 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x e^{4 x}]$ .

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Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x e^{4 x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x e^{4 x}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{4 x})$

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \cdot 1)$

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1)$

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 \cdot e^{4 x}) + e^{4 x} \cdot 1)$

Mutltipliziere $e^{4 x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x})$

Vereinfache.

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Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x})$

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 e^{4 x})) + 2 e^{4 x}$

Vereine die Terme

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Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = 16 (x^{2} (e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 e^{4 x})) + 2 e^{4 x}$

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 8 (e^{4 x} (x)) + 2 (x (4 e^{4 x})) + 2 e^{4 x}$

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 8 e^{4 x} x + 8 (x (e^{4 x})) + 2 e^{4 x}$

Addiere $8 e^{4 x} x$ und $8 x e^{4 x}$ .

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Bewege $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 8 x e^{4 x} + 8 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$

Addiere $8 x e^{4 x}$ und $8 x e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 16 e^{4 x} x^{2} + 16 e^{4 x} x + 2 e^{4 x}$

Stelle die Faktoren in $16 e^{4 x} x^{2} + 16 e^{4 x} x + 2 e^{4 x}$ um.

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$ .

$16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$

Step 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x} = 0$ .

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Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x} = 0$

Faktorisiere $2 e^{4 x}$ aus $16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$ heraus.

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Faktorisiere $2 e^{4 x}$ aus $16 x^{2} e^{4 x}$ heraus.

$2 e^{4 x} (8 x^{2}) + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x} = 0$

Faktorisiere $2 e^{4 x}$ aus $16 x e^{4 x}$ heraus.

$2 e^{4 x} (8 x^{2}) + 2 e^{4 x} (8 x) + 2 e^{4 x} = 0$

Faktorisiere $2 e^{4 x}$ aus $2 e^{4 x}$ heraus.

$2 e^{4 x} (8 x^{2}) + 2 e^{4 x} (8 x) + 2 e^{4 x} (1) = 0$

Faktorisiere $2 e^{4 x}$ aus $2 e^{4 x} (8 x^{2}) + 2 e^{4 x} (8 x)$ heraus.

$2 e^{4 x} (8 x^{2} + 8 x) + 2 e^{4 x} (1) = 0$

Faktorisiere $2 e^{4 x}$ aus $2 e^{4 x} (8 x^{2} + 8 x) + 2 e^{4 x} (1)$ heraus.

$2 e^{4 x} (8 x^{2} + 8 x + 1) = 0$

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{4 x} = 0$

$8 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Setze $e^{4 x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Setze $e^{4 x}$ gleich $0$ .

$e^{4 x} = 0$

Löse $e^{4 x} = 0$ nach $x$ auf.

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Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{4 x}) = \ln (0)$

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Es gibt keine Lösung für $e^{4 x} = 0$

Keine Lösung

Setze $8 x^{2} + 8 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Setze $8 x^{2} + 8 x + 1$ gleich $0$ .

$8 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Löse $8 x^{2} + 8 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Setze die Werte $a = 8$ , $b = 8$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 1)}}{2 \cdot 8}$

Vereinfache.

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Vereinfache den Zähler.

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Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

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Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Mutltipliziere $- 32$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 8}$

Subtrahiere $32$ von $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8}$

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 8}$

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{4}$

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Vereinfache den Zähler.

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Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

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Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Mutltipliziere $- 32$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 8}$

Subtrahiere $32$ von $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8}$

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 8}$

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{4}$

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 2 + \sqrt{2}}{4}$

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{2}}{4}$

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{2}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{2})}{4}$

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{2})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{2})}{4}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Vereinfache den Zähler.

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Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Mutltipliziere $- 32$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 8}$

Subtrahiere $32$ von $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8}$

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 8}$

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{4}$

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 2 - \sqrt{2}}{4}$

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{2}}{4}$

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{2}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{2})}{4}$

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (\sqrt{2})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{2})}{4}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 e^{4 x} (8 x^{2} + 8 x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Step 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Ersetze $- 0.1464466$ in $f (x) = x^{2} e^{4 x}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1464466$ .

$f (- 0.1464466) = {(- 0.1464466)}^{2} e^{4 (- 0.1464466)}$

Vereinfache das Ergebnis.

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Potenziere $- 0.1464466$ mit $2$ .

$f (- 0.1464466) = 0.0214466 e^{4 (- 0.1464466)}$

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.1464466$ .

$f (- 0.1464466) = 0.0214466 e^{- 0.58578643}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 0.1464466) = 0.0214466 (\frac{1}{e^{0.58578643}})$

Kombiniere $0.0214466$ und $\frac{1}{e^{0.58578643}}$ .

$f (- 0.1464466) = \frac{0.0214466}{e^{0.58578643}}$

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f (- 0.1464466) = \frac{0.0214466}{{2.71828182}^{0.58578643}}$

Potenziere $2.71828182$ mit $0.58578643$ .

$f (- 0.1464466) = \frac{0.0214466}{1.79640318}$

Dividiere $0.0214466$ durch $1.79640318$ .

$f (- 0.1464466) = 0.01193863$

Die endgültige Lösung ist $0.01193863$ .

$0.01193863$

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 0.1464466$ in $f (x) = x^{2} e^{4 x}$ ermittelt werden kann, ist $(- 0.1464466, 0.01193863)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 0.1464466, 0.01193863)$

Ersetze $- 0.85355339$ in $f (x) = x^{2} e^{4 x}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.85355339$ .

$f (- 0.85355339) = {(- 0.85355339)}^{2} e^{4 (- 0.85355339)}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 0.85355339$ mit $2$ .

$f (- 0.85355339) = 0.72855339 e^{4 (- 0.85355339)}$

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.85355339$ .

$f (- 0.85355339) = 0.72855339 e^{- 3.41421356}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 0.85355339) = 0.72855339 (\frac{1}{e^{3.41421356}})$

Kombiniere $0.72855339$ und $\frac{1}{e^{3.41421356}}$ .

$f (- 0.85355339) = \frac{0.72855339}{e^{3.41421356}}$

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f (- 0.85355339) = \frac{0.72855339}{{2.71828182}^{3.41421356}}$

Potenziere $2.71828182$ mit $3.41421356$ .

$f (- 0.85355339) = \frac{0.72855339}{30.39303779}$

Dividiere $0.72855339$ durch $30.39303779$ .

$f (- 0.85355339) = 0.02397106$

Die endgültige Lösung ist $0.02397106$ .

$0.02397106$

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 0.85355339$ in $f (x) = x^{2} e^{4 x}$ ermittelt werden kann, ist $(- 0.85355339, 0.02397106)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 0.85355339, 0.02397106)$

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(- 0.1464466, 0.01193863), (- 0.85355339, 0.02397106)$

Step 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 0.85355339) \cup (- 0.85355339, - 0.1464466) \cup (- 0.1464466, \infty)$

Step 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 0.85355339)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.95355339$ .

$f'' (- 0.95355339) = 16 {(- 0.95355339)}^{2} e^{4 (- 0.95355339)} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 0.95355339$ mit $2$ .

$f'' (- 0.95355339) = 16 \cdot (0.90926406 e^{4 (- 0.95355339)}) + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Mutltipliziere $16$ mit $0.90926406$ .

$f'' (- 0.95355339) = 14.54822509 e^{4 (- 0.95355339)} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.95355339$ .

$f'' (- 0.95355339) = 14.54822509 e^{- 3.81421356} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 14.54822509 (\frac{1}{e^{3.81421356}}) + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Kombiniere $14.54822509$ und $\frac{1}{e^{3.81421356}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = \frac{14.54822509}{e^{3.81421356}} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (- 0.95355339) = \frac{14.54822509}{{2.71828182}^{3.81421356}} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Potenziere $2.71828182$ mit $3.81421356$ .

$f'' (- 0.95355339) = \frac{14.54822509}{45.34108442} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Dividiere $14.54822509$ durch $45.34108442$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Mutltipliziere $16$ mit $- 0.95355339$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 15.25685424 \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.95355339$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 15.25685424 \cdot e^{- 3.81421356} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 15.25685424 \cdot \frac{1}{e^{3.81421356}} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Kombiniere $- 15.25685424$ und $\frac{1}{e^{3.81421356}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 + \frac{- 15.25685424}{e^{3.81421356}} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - \frac{15.25685424}{e^{3.81421356}} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - \frac{15.25685424}{{2.71828182}^{3.81421356}} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Potenziere $2.71828182$ mit $3.81421356$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - \frac{15.25685424}{45.34108442} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Dividiere $15.25685424$ durch $45.34108442$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 1 \cdot 0.33649072 + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.33649072$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 0.33649072 + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.95355339$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 0.33649072 + 2 e^{- 3.81421356}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 0.33649072 + 2 (\frac{1}{e^{3.81421356}})$

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e^{3.81421356}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 0.33649072 + \frac{2}{e^{3.81421356}}$

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere $0.33649072$ von $0.32086186$ .

$f'' (- 0.95355339) = - 0.01562885 + \frac{2}{e^{3.81421356}}$

Addiere $- 0.01562885$ und $\frac{2}{e^{3.81421356}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.02848125$

Die endgültige Lösung ist $0.02848125$ .

$0.02848125$

Bei $- 0.95355339$ ist die zweite Ableitung $0.02848125$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 0.85355339)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 0.85355339)$ , da $f'' (x) > 0$

Step 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.85355339, - 0.1464466)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 {(- \frac{1}{2})}^{2} e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 (\frac{1}{2^{2}}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 (\frac{1}{4}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (4) (\frac{1}{4}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (4 (\frac{1}{4})) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{4 (\frac{- 1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{2 (2) (\frac{- 1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2}))} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{2 \cdot - 1} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{- 2} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{e^{2}}) + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 16 (\frac{- 1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 2 (8) (\frac{- 1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 2 \cdot (8 (\frac{- 1}{2})) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 8 \cdot - 1 \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{4 (\frac{- 1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{2 (2) (\frac{- 1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2}))} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{2 \cdot - 1} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{- 2} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{4 (\frac{- 1}{2})}$

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{2 (2) (\frac{- 1}{2})}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2}))}$

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{2 \cdot - 1}$

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 (\frac{1}{e^{2}})$

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Addiere $- 4$ und $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{e^{2}}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{2}{e^{2}}$

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{e^{2}}$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

Bei $- \frac{1}{2}$ , die zweite Ableitung ist $- 0.27067056$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 0.85355339, - 0.1464466)$

Abfallend im Intervall $(- 0.85355339, - 0.1464466)$ da $f'' (x) < 0$

Step 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.1464466, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.0464466$ .

$f'' (- 0.0464466) = 16 {(- 0.0464466)}^{2} e^{4 (- 0.0464466)} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 0.0464466$ mit $2$ .

$f'' (- 0.0464466) = 16 \cdot (0.00215728 e^{4 (- 0.0464466)}) + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Mutltipliziere $16$ mit $0.00215728$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.0345166 e^{4 (- 0.0464466)} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.0464466$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.0345166 e^{- 0.18578643} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.0345166 (\frac{1}{e^{0.18578643}}) + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Kombiniere $0.0345166$ und $\frac{1}{e^{0.18578643}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = \frac{0.0345166}{e^{0.18578643}} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (- 0.0464466) = \frac{0.0345166}{{2.71828182}^{0.18578643}} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Potenziere $2.71828182$ mit $0.18578643$ .

$f'' (- 0.0464466) = \frac{0.0345166}{1.20416506} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Dividiere $0.0345166$ durch $1.20416506$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Mutltipliziere $16$ mit $- 0.0464466$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.74314575 \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.0464466$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.74314575 \cdot e^{- 0.18578643} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.74314575 \cdot \frac{1}{e^{0.18578643}} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Kombiniere $- 0.74314575$ und $\frac{1}{e^{0.18578643}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 + \frac{- 0.74314575}{e^{0.18578643}} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - \frac{0.74314575}{e^{0.18578643}} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - \frac{0.74314575}{{2.71828182}^{0.18578643}} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Potenziere $2.71828182$ mit $0.18578643$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - \frac{0.74314575}{1.20416506} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Dividiere $0.74314575$ durch $1.20416506$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 1 \cdot 0.61714607 + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.61714607$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.61714607 + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.0464466$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.61714607 + 2 e^{- 0.18578643}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.61714607 + 2 (\frac{1}{e^{0.18578643}})$

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e^{0.18578643}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.61714607 + \frac{2}{e^{0.18578643}}$

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere $0.61714607$ von $0.02866434$ .

$f'' (- 0.0464466) = - 0.58848173 + \frac{2}{e^{0.18578643}}$

Addiere $- 0.58848173$ und $\frac{2}{e^{0.18578643}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 1.07242012$

Die endgültige Lösung ist $1.07242012$ .

$1.07242012$

Bei $- 0.0464466$ ist die zweite Ableitung $1.07242012$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 0.1464466, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 0.1464466, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Step 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 0.85355339, 0.02397106), (- 0.1464466, 0.01193863)$ .

$(- 0.85355339, 0.02397106), (- 0.1464466, 0.01193863)$

Step 9