Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{3} 2^{i}$

Step 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Step 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{i + 1}$ und $2^{i}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2^{i}$ aus $2^{i + 1}$ heraus.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{2}{1}$

Dividiere $2$ durch $1$ .

$r = 2$

Step 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $1$ für $i$ in $2^{i}$ ein.

$a = 2^{1}$

Berechne den Exponenten.

$a = 2$

Step 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$2 \frac{1 - 2^{3}}{1 - 1 \cdot 2}$

Step 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 \frac{1 - 1 \cdot 8}{1 - 1 \cdot 2}$

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$2 \frac{1 - 8}{1 - 1 \cdot 2}$

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$2 \frac{- 7}{1 - 1 \cdot 2}$

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \frac{- 7}{1 - 2}$

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 (\frac{- 7}{- 1})$

Dividiere $- 7$ durch $- 1$ .

$2 \cdot 7$

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$14$