Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}}$

Step 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Step 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ einsetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $a_{n}$ und $a_{n + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{\frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}}}{\frac{2^{n}}{3^{n}}}$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r = \frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}} \cdot \frac{3^{n}}{2^{n}}$

Kombinieren.

$r = \frac{2^{n + 1} \cdot 3^{n}}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{n + 1}$ und $2^{n}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2^{n}$ aus $2^{n + 1} \cdot 3^{n}$ heraus.

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2^{n}$ aus $3^{n + 1} \cdot 2^{n}$ heraus.

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{2 \cdot 3^{n}}{3^{n + 1}}$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3^{n}$ und $3^{n + 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $3^{n + 1}$ aus $2 \cdot 3^{n}$ heraus.

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1}}$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{2 \cdot 3^{n - (n + 1)}}{1}$

Dividiere $2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$ durch $1$ .

$r = 2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende das Distributivgesetz an.

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1 \cdot 1}$

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1}$

Subtrahiere $n$ von $n$ .

$r = 2 \cdot 3^{0 - 1}$

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$r = 2 \cdot 3^{- 1}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 2 \cdot \frac{1}{3}$

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$r = \frac{2}{3}$

Step 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Step 4

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $1$ für $n$ in $\frac{2^{n}}{3^{n}}$ ein.

$a = \frac{2^{1}}{3^{1}}$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Berechne den Exponenten.

$a = \frac{2}{3^{1}}$

Berechne den Exponenten.

$a = \frac{2}{3}$

Step 5

Ersetze die Werte des Verhältnisses und des ersten Terms in der Summenformel.

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}}$

Step 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}}$

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 2}{3}}$

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2}{3} (1 \cdot 3)$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $3$ aus $1 \cdot 3$ heraus.

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

Forme den Ausdruck um.

$2$