Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{50} n (4 n + 3)$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Wende das Distributivgesetz an.

$n (4 n) + n \cdot 3$

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 n \cdot n + n \cdot 3$

Bringe $3$ auf die linke Seite von $n$ .

$4 n \cdot n + 3 \cdot n$

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Bewege $n$ .

$4 (n \cdot n) + 3 \cdot n$

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$4 n^{2} + 3 \cdot n$

$4 n^{2} + 3 n$

Schreibe die Summe um.

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n = 4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2} + 3 \sum_{n = 1}^{50} n$

Schritt 3

Berechne $4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2}$ .

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Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(4) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Vereinfache.

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Vereinfache den Zähler.

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Addiere $50$ und $1$ .

$4 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $50$ mit $51$ .

$4 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Mutltipliziere $2$ mit $50$ .

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Addiere $100$ und $1$ .

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $2550$ mit $101$ .

$4 (\frac{257550}{6})$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{257550}{6}$

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{257550}{3})$

Kombiniere $2$ und $\frac{257550}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 257550}{3}$

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $2$ mit $257550$ .

$\frac{515100}{3}$

Dividiere $515100$ durch $3$ .

$171700$

Schritt 4

Berechne $3 \sum_{n = 1}^{50} n$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(3) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Addiere $50$ und $1$ .

$3 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Mutltipliziere $50$ mit $51$ .

$3 (\frac{2550}{2})$

Dividiere $2550$ durch $2$ .

$3 \cdot 1275$

Mutltipliziere $3$ mit $1275$ .

$3825$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$171700 + 3825$

Schritt 6

Addiere $171700$ und $3825$ .

$175525$