Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{\infty} 5 {(\frac{3}{4})}^{n - 1}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ einsetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $a_{n}$ und $a_{n + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{5 {(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}}{5 {(\frac{3}{4})}^{n - 1}}$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{5 {(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}}{5 {(\frac{3}{4})}^{n - 1}}$

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{3}{4})}^{n - 1}}$

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}$ und ${(\frac{3}{4})}^{n - 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere ${(\frac{3}{4})}^{n - 1}$ aus ${(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} {(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{3}{4})}^{n - 1}}$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} {(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} {(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Dividiere ${(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$ durch $1$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Addiere $n$ und $0$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{n - (n - 1)}$

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(\frac{3}{4})}^{n - n - - 1}$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{n - n + 1}$

Subtrahiere $n$ von $n$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{0 + 1}$

Addiere $0$ und $1$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{1}$

Vereinfache.

$r = \frac{3}{4}$

Schritt 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Schritt 4

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $1$ für $n$ in $5 {(\frac{3}{4})}^{n - 1}$ ein.

$a = 5 {(\frac{3}{4})}^{1 - 1}$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a = 5 {(\frac{3}{4})}^{0}$

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$a = 5 \frac{3^{0}}{4^{0}}$

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 5 \frac{1}{4^{0}}$

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Forme den Ausdruck um.

$a = 5 \cdot 1$

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$a = 5$

Schritt 5

Ersetze die Werte des Verhältnisses und des ersten Terms in der Summenformel.

$\frac{5}{1 - \frac{3}{4}}$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{\frac{4 - 3}{4}}$

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{5}{\frac{1}{4}}$

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$5 \cdot 4$

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$20$