Analysis Beispiele

$x^{3} + 8 = 0$

Step 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x^{3} + 2^{3} = 0$

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) = 0$

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Step 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Step 3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Step 4

Setze $x^{2} - 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $x^{2} - 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Löse $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Step 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$