Analysis Beispiele

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$

Step 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

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Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{3} + 9 x^{2} - 52$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 52)$

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Da $- 52$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 52$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 0$

Addiere $- 3 x^{2} + 18 x$ und $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 x^{2} + 18 x$ .

$- 3 x^{2} + 18 x$

Step 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x^{2} + 18 x = 0$ .

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Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x^{2} + 18 x = 0$

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{2} + 18 x$ heraus.

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Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- 3 x \cdot x + 18 x = 0$

Faktorisiere $- 3 x$ aus $18 x$ heraus.

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 6 = 0$

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x (x) - 3 x (- 6)$ heraus.

$- 3 x (x - 6) = 0$

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 3 x (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 6$

Step 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, 6$ .

$0, 6$

Step 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Step 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - 3 {(- 1)}^{2} + 18 (- 1)$

Vereinfache das Ergebnis.

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Vereinfache jeden Term.

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Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = - 3 \cdot 1 + 18 (- 1)$

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f' (- 1) = - 3 + 18 (- 1)$

Mutltipliziere $18$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - 3 - 18$

Subtrahiere $18$ von $- 3$ .

$f' (- 1) = - 21$

Die endgültige Lösung ist $- 21$ .

$- 21$

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- 21$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Step 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 6)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = - 3 {(3)}^{2} + 18 (3)$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

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Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot 9 + 18 (3)$

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$f' (3) = - 27 + 18 (3)$

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$f' (3) = - 27 + 54$

Addiere $- 27$ und $54$ .

$f' (3) = 27$

Die endgültige Lösung ist $27$ .

$27$

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $27$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, 6)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, 6)$ , da $f' (x) > 0$

Step 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(6, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = - 3 {(7)}^{2} + 18 (7)$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f' (7) = - 3 \cdot 49 + 18 (7)$

Mutltipliziere $- 3$ mit $49$ .

$f' (7) = - 147 + 18 (7)$

Mutltipliziere $18$ mit $7$ .

$f' (7) = - 147 + 126$

Addiere $- 147$ und $126$ .

$f' (7) = - 21$

Die endgültige Lösung ist $- 21$ .

$- 21$

Bei $x = 7$ ist die Ableitung $- 21$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(6, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(6, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Step 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, 6)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0), (6, \infty)$

Step 9