Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$

Step 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Vereinfache.

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Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Step 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Step 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Setze den Nenner in $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Löse nach $x$ auf.

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Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{2}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{2} = 0$ durch $27$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{2} = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Vereinfache die rechte Seite.

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Dividiere $0$ durch $27$ .

$x^{2} = 0$

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Step 4

Werte $x^{\frac{1}{3}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{\frac{1}{3}}$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Ausdruck.

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Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Forme den Ausdruck um.

$0^{1}$

Berechne den Exponenten.

$0$

Liste all Punkte auf.

$(0, 0)$

Step 5