Analysis Beispiele

$f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x - 9 x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x (1 + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.3

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = x (1 - 9 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.3

Kombiniere $- 9$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = x (1 + \frac{- 9 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.8.4.1

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (1 + \frac{- 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1$

Schritt 1.1.10

Mutltipliziere $x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.11

Vereinfache.

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Schritt 1.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = x \cdot 1 + x (- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.11.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.11.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x + x (- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.11.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = x - \frac{x \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.11.2.3

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = x - \frac{9 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.11.2.4

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x - \frac{9 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.11.2.5

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.11.2.5.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x - \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.11.2.5.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.11.2.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x - \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.11.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.11.2.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.11.2.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.11.2.5.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f' (x) = x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.11.2.6

Addiere $x$ und $x$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.11.2.7

Um $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.1.11.2.8

Kombiniere $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Schritt 1.1.11.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 2 x + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Schritt 1.1.11.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.1.11.2.11

Subtrahiere $18 x^{\frac{1}{2}}$ von $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.1.11.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 x - \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- \frac{27}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.2.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.2.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.2.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.2.3.9

Mutltipliziere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $\frac{27}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 27}{4}$

Schritt 1.2.3.11

Bringe $27$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 1.2.3.12

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$4 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$ mit $4 x^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$ mit $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$\frac{- 27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 27 = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 27 = - 8 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ um.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 x^{\frac{1}{2}}}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 x^{\frac{1}{2}}}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

Schritt 2.5.2.2.2

Dividiere $x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 27}{- 8}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{27}{8}$

Schritt 2.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Schritt 2.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.2.1

Vereinfache ${(\frac{27}{8})}^{2}$ .

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Schritt 2.5.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{27}{8}$ an.

$x = \frac{27^{2}}{8^{2}}$

Schritt 2.5.4.2.1.2

Potenziere $27$ mit $2$ .

$x = \frac{729}{8^{2}}$

Schritt 2.5.4.2.1.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{729}{64}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\frac{729}{64}$ in $f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{729}{64}$ .

$f (\frac{729}{64}) = (\frac{729}{64}) ((\frac{729}{64}) - 9 \sqrt{\frac{729}{64}})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Schreibe $\sqrt{\frac{729}{64}}$ als $\frac{\sqrt{729}}{\sqrt{64}}$ um.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{\sqrt{729}}{\sqrt{64}})$

Schritt 3.1.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Schreibe $729$ als $27^{2}$ um.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{\sqrt{27^{2}}}{\sqrt{64}})$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{27}{\sqrt{64}})$

Schritt 3.1.2.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.1.3.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{27}{\sqrt{8^{2}}})$

Schritt 3.1.2.1.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 (\frac{27}{8}))$

Schritt 3.1.2.1.4

Multipliziere $- 9 (\frac{27}{8})$ .

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Schritt 3.1.2.1.4.1

Kombiniere $- 9$ und $\frac{27}{8}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} + \frac{- 9 \cdot 27}{8})$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $27$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} + \frac{- 243}{8})$

Schritt 3.1.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243}{8})$

Schritt 3.1.2.2

Um $- \frac{243}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243}{8} \cdot \frac{8}{8})$

Schritt 3.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $64$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{243}{8}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243 \cdot 8}{8 \cdot 8})$

Schritt 3.1.2.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243 \cdot 8}{64})$

Schritt 3.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{729 - 243 \cdot 8}{64}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 243$ mit $8$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{729 - 1944}{64}$

Schritt 3.1.2.5.2

Subtrahiere $1944$ von $729$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{- 1215}{64}$

Schritt 3.1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (- \frac{1215}{64})$

Schritt 3.1.2.7

Multipliziere $\frac{729}{64} (- \frac{1215}{64})$ .

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Schritt 3.1.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{729}{64}$ mit $\frac{1215}{64}$ .

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{729 \cdot 1215}{64 \cdot 64}$

Schritt 3.1.2.7.2

Mutltipliziere $729$ mit $1215$ .

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{885735}{64 \cdot 64}$

Schritt 3.1.2.7.3

Mutltipliziere $64$ mit $64$ .

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{885735}{4096}$

Schritt 3.1.2.8

Die endgültige Lösung ist $- \frac{885735}{4096}$ .

$- \frac{885735}{4096}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{729}{64}$ in $f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{729}{64}) \cup (\frac{729}{64}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{729}{64})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $11.290625$ .

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 {(11.290625)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1.1.1

Schreibe $11.290625$ als ${3.36015252}^{2}$ um.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {({3.36015252}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.36015252}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.36015252}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.36015252}$

Schritt 5.2.1.1.4

Berechne den Exponenten.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.36015252}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3.36015252$ .

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{13.4406101}$

Schritt 5.2.1.3

Dividiere $27$ durch $13.4406101$ .

$f'' (11.290625) = 2 - 1 \cdot 2.00883738$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2.00883738$ .

$f'' (11.290625) = 2 - 2.00883738$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2.00883738$ von $2$ .

$f'' (11.290625) = - 0.00883738$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.00883738$ .

$- 0.00883738$

Schritt 5.3

Bei $11.290625$ , die zweite Ableitung ist $- 0.00883738$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, \frac{729}{64})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{729}{64})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{729}{64}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $11.490625$ .

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 {(11.490625)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.1.1

Schreibe $11.490625$ als ${3.38978244}^{2}$ um.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {({3.38978244}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.38978244}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 6.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.38978244}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 6.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.38978244}$

Schritt 6.2.1.1.4

Berechne den Exponenten.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.38978244}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3.38978244$ .

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{13.55912976}$

Schritt 6.2.1.3

Dividiere $27$ durch $13.55912976$ .

$f'' (11.490625) = 2 - 1 \cdot 1.99127823$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.99127823$ .

$f'' (11.490625) = 2 - 1.99127823$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $1.99127823$ von $2$ .

$f'' (11.490625) = 0.00872176$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.00872176$ .

$0.00872176$

Schritt 6.3

Bei $11.490625$ ist die zweite Ableitung $0.00872176$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{729}{64}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{729}{64}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$ .

$(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$

Schritt 8