Analysis Beispiele

$3 x^{2} - 6 x$

Step 1

Schreibe $3 x^{2} - 6 x$ als Funktion.

$f (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Step 2

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x - 6 \cdot 1$

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f' (x) = 6 x - 6$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x - 6$ .

$6 x - 6$

Step 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x - 6 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x - 6 = 0$

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 6$

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 6$ durch $6$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 6$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dividiere $6$ durch $6$ .

$x = 1$

Step 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $1$ .

$1$

Step 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = 6 x - 6$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 3 x^{2} - 6 x$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Step 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 6 (0) - 6$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 6$

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$f' (0) = - 6$

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $- 6$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 1)$ da $f' (x) < 0$

Step 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 6 (2) - 6$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f' (2) = 12 - 6$

Subtrahiere $6$ von $12$ .

$f' (2) = 6$

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$6$

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $6$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Step 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 1)$

Step 9