Analysis Beispiele

$\frac{1}{x^{2}}$

Step 1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Step 2

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2 \cdot - 1})$

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 2})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f' (x) = - 2 x^{- 3}$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{x^{3}}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$

Step 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Step 4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Step 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze den Nenner in $\frac{2}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Step 6

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{- 1}$

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = 2$

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $2$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Step 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{2}{1}$

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (1) = - 2$

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 2$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Step 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 0)$

Abfallend im Intervall: $(0, \infty)$

Step 10