Analysis Beispiele

$x^{2} + \frac{2}{x}$

Step 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + \frac{2}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 x + 2 (- x^{- 2})$

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 x - 2 x^{- 2}$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 2}{x^{2}}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x - \frac{2}{x^{2}}$

Step 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \frac{2}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{2}})$

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{2}})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{2}})$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{2}})$

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 2 - 2 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (- 2 x^{- 3})$

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 2 + 4 x^{- 3}$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 4 (\frac{1}{x^{3}})$

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{4}{x^{3}}$

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{4}{x^{3}} + 2$

Step 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0$

Step 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + \frac{2}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x})$

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 2 x + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f' (x) = 2 x + 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 x + 2 (- x^{- 2})$

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = 2 x - 2 x^{- 2}$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 2}{x^{2}}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 x - \frac{2}{x^{2}}$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - \frac{2}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{2}{x^{2}}$

Step 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0$ .

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Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0$

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2}, 1$

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Vereinfache die linke Seite.

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Vereinfache jeden Term.

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Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Bewege $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2 + 1} - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x^{3} - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{x^{2}}$ in den Zähler.

$2 x^{3} + \frac{- 2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{3} + \frac{- 2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{3} - 2 = 0 x^{2}$

Vereinfache die rechte Seite.

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Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 2 = 0$

Löse die Gleichung.

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Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} = 2$

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} - 2 = 0$

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} - 2$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$2 (x^{3}) - 2 = 0$

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (x^{3}) + 2 (- 1) = 0$

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3}) + 2 (- 1)$ heraus.

$2 (x^{3} - 1) = 0$

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$2 (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$2 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Löse $x^{2} + x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Vereinfache.

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Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Step 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Setze den Nenner in $\frac{2}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Löse nach $x$ auf.

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Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Step 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1$

Step 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4}{{(1)}^{3}} + 2$

Step 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Vereinfache jeden Term.

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Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{4}{1} + 2$

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 + 2$

Addiere $4$ und $2$ .

$6$

Step 10

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Step 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} + \frac{2}{1}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 + \frac{2}{1}$

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (1) = 1 + 2$

Addiere $1$ und $2$ .

$f (1) = 3$

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$y = 3$

Step 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ .

$(1, 3)$ ist ein lokales Minimum

Step 13