Analysis Beispiele

$x^{2} - 2 x - 3$

Step 1

Schreibe $x^{2} - 2 x - 3$ als Funktion.

$f (x) = x^{2} - 2 x - 3$

Step 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$2 x - 2$

Step 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Addiere $2$ und $0$ .

$f'' (x) = 2$

Step 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 x - 2 = 0$

Step 5

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 3)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2 + 0$

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - 2$ .

$2 x - 2$

Step 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - 2 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 2$

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2$ durch $2$ und vereinfache.

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Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dividiere $2$ durch $2$ .

$x = 1$

Step 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Step 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1$

Step 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2$

Step 10

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Step 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 - 3$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1 - 3$

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 2 - 3$

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (1) = - 1 - 3$

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$f (1) = - 4$

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$y = - 4$

Step 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

$(1, - 4)$ ist ein lokales Minimum

Step 13