Analysis Beispiele

$x = 4 \sqrt{3 y}$ , $x = 0$ , $y = 3$

Step 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{12} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = 3$ und $g (x) = \frac{x^{2}}{48}$

Step 2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $3$ mit $2$ .

$V = 9 - {(\frac{x^{2}}{48})}^{2}$

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{2}}{48}$ an.

$V = 9 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{48^{2}}$

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{48^{2}}$

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = 9 - \frac{x^{4}}{48^{2}}$

Potenziere $48$ mit $2$ .

$V = 9 - \frac{x^{4}}{2304}$

Step 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{12} 9 d x + \int_{0}^{12} - \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 4

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (9 x]_{0}^{12} + \int_{0}^{12} - \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \int_{0}^{12} \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 6

Da $\frac{1}{2304}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2304}$ aus dem Integral.

$V = π (9 x]_{0}^{12} - (\frac{1}{2304} \cdot \int_{0}^{12} x^{4} d x))$

Step 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{1}{2304} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{12})$

Step 8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{1}{2304} \cdot \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12})$

Kombiniere $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}$ und $\frac{1}{2304}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}}{2304})$

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Berechne $9 x$ bei $12$ und $0$ .

$V = π ((9 \cdot 12) - 9 \cdot 0 - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}}{2304})$

Berechne $\frac{x^{5}}{5}$ bei $12$ und $0$ .

$V = π ((9 \cdot 12) - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $9$ mit $12$ .

$V = π (108 - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$V = π (108 + 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

Addiere $108$ und $0$ .

$V = π (108 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

Potenziere $12$ mit $5$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0}{5}}{2304})$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{2304})$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{2304})$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{2304})$

Forme den Ausdruck um.

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0}{1}}{2304})$

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - 0}{2304})$

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} + 0}{2304})$

Addiere $\frac{248832}{5}$ und $0$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5}}{2304})$

Schreibe $\frac{\frac{248832}{5}}{2304}$ als ein Produkt um.

$V = π (108 - (\frac{248832}{5} \cdot \frac{1}{2304}))$

Mutltipliziere $\frac{248832}{5}$ mit $\frac{1}{2304}$ .

$V = π (108 - \frac{248832}{5 \cdot 2304})$

Mutltipliziere $5$ mit $2304$ .

$V = π (108 - \frac{248832}{11520})$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $248832$ und $11520$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2304$ aus $248832$ heraus.

$V = π (108 - \frac{2304 (108)}{11520})$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2304$ aus $11520$ heraus.

$V = π (108 - \frac{2304 \cdot 108}{2304 \cdot 5})$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (108 - \frac{2304 \cdot 108}{2304 \cdot 5})$

Forme den Ausdruck um.

$V = π (108 - \frac{108}{5})$

Um $108$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (108 \cdot \frac{5}{5} - \frac{108}{5})$

Kombiniere $108$ und $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{108 \cdot 5}{5} - \frac{108}{5})$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{108 \cdot 5 - 108}{5})$

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $108$ mit $5$ .

$V = π (\frac{540 - 108}{5})$

Subtrahiere $108$ von $540$ .

$V = π (\frac{432}{5})$

Kombiniere $π$ und $\frac{432}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 432}{5}$

Bringe $432$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{432 π}{5}$

Step 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{432 π}{5}$

Dezimalform:

$V = 271.43360527 \dots$

Step 10