Analysis Beispiele

$x^{3} - 3 x + 1$

Step 1

Schreibe $x^{3} - 3 x + 1$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$

Step 2

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

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Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} (1)$

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 + 0$

Addiere $3 x^{2} - 3$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 3$ .

$3 x^{2} - 3$

Step 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 3 = 0$ .

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Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 3$

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 3$ durch $3$ und vereinfache.

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Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 3$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Vereinfache die linke Seite.

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Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dividiere $3$ durch $3$ .

$x^{2} = 1$

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Step 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $1, - 1$ .

$1, - 1$

Step 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Step 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 3$

Vereinfache das Ergebnis.

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Vereinfache jeden Term.

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Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = 3 \cdot 4 - 3$

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f' (- 2) = 12 - 3$

Subtrahiere $3$ von $12$ .

$f' (- 2) = 9$

Die endgültige Lösung ist $9$ .

$9$

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $9$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f' (x) > 0$

Step 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 3$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

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$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 3$

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$f' (0) = - 3$

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 1, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 1, 1)$ da $f' (x) < 0$

Step 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 3$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 3$

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f' (2) = 12 - 3$

Subtrahiere $3$ von $12$ .

$f' (2) = 9$

Die endgültige Lösung ist $9$ .

$9$

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $9$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Step 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 1, 1)$

Step 10