Analysis Beispiele

$y = t \ln^{2} (3 t)$

Step 1

Entferne die Klammern.

$y = t \ln^{2} (3 t)$

Step 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (3 t))$

Step 3

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Step 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = \ln^{2} (3 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (3 t)] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \ln (3 t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (3 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (3 t)]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (3 t)]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (3 t)$ .

$t (2 \ln (3 t) \frac{d}{d t} [\ln (3 t)]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = 3 t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 t$ .

$t (2 \ln (3 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (3 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [3 t])) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 t$ .

$t (2 \ln (3 t) (\frac{1}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t])) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $\frac{1}{3 t}$ und $2$ .

$t (\frac{2}{3 t} \ln (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $\frac{2}{3 t}$ und $\ln (3 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (3 t)}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Kombiniere $\frac{2 \ln (3 t)}{3 t}$ und $t$ .

$\frac{2 \ln (3 t) t}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \ln (3 t) t}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \ln (3 t)}{3} \frac{d}{d t} [3 t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 \ln (3 t)}{3} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $3$ und $\frac{2 \ln (3 t)}{3}$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 \ln (3 t)}{3} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $3$ aus $6 \ln (3 t)$ heraus.

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3 (1)} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \ln (3 t)}{1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Dividiere $2 \ln (3 t)$ durch $1$ .

$2 \ln (3 t) \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \ln (3 t) \cdot 1 + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \ln (3 t) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \ln (3 t) + \ln^{2} (3 t) \cdot 1$

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $\ln^{2} (3 t)$ mit $1$ .

$2 \ln (3 t) + \ln^{2} (3 t)$

Stelle die Terme um.

$\ln^{2} (3 t) + 2 \ln (3 t)$

Step 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \ln^{2} (3 t) + 2 \ln (3 t)$

Step 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (3 t) + 2 \ln (3 t)$