Analysis Beispiele

$x = 1$ , $x = 3$ , $y = x^{3} - 8$ , $y = 0$

Step 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{3} - 8 = 0$

Löse $x^{3} - 8 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 8$

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 8 = 0$

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 0$

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Löse $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Ersetze $x$ durch $2$ .

$y = 0$

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Step 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Step 3

Integriere, um die Fläche zwischen $1$ und $3$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Integriere, um die Fläche zwischen $1$ und $3$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{1}^{3} 0 - (x^{3} - 8) d x$

Subtrahiere $x^{3} - 8$ von $0$ .

$\int_{1}^{3} - (x^{3} - 8) d x$

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 8 d x$

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 8 x]_{1}^{3}$

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $3$ und $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 8 x]_{1}^{3}$

Berechne $8 x$ bei $3$ und $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $3$ mit $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{81 - 1}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Subtrahiere $1$ von $81$ .

$- \frac{80}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $80$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4$ aus $80$ heraus.

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{20}{1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Dividiere $20$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$- 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$- 20 + 24 - 8 \cdot 1$

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$- 20 + 24 - 8$

Subtrahiere $8$ von $24$ .

$- 20 + 16$

Addiere $- 20$ und $16$ .

$- 4$

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 - (0) d x$

Subtrahiere $0$ von $x^{3} - 8$ .

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x$

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 8 d x$

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 8 d x$

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + - 8 x]_{1}^{3}$

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}$ und $- 8 x]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - 8 x]_{1}^{3}$

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Berechne $\frac{1}{4} x^{4} - 8 x$ bei $3$ und $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - 8 \cdot 3) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 81 - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $81$ .

$\frac{81}{4} - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$\frac{81}{4} - 24 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Um $- 24$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} - 24 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Kombiniere $- 24$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{81 - 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 24$ mit $4$ .

$\frac{81 - 96}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Subtrahiere $96$ von $81$ .

$\frac{- 15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 8 \cdot 1)$

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot 1)$

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8)$

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4})$

Kombiniere $- 8$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4})$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 8 \cdot 4}{4}$

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 32}{4}$

Subtrahiere $32$ von $1$ .

$- \frac{15}{4} - \frac{- 31}{4}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15}{4} - - \frac{31}{4}$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{15}{4} + 1 (\frac{31}{4})$

Mutltipliziere $\frac{31}{4}$ mit $1$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{31}{4}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 15 + 31}{4}$

Addiere $- 15$ und $31$ .

$\frac{16}{4}$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4}$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1}$

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4$

Step 4