Analysis Beispiele

$\frac{x - 4}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x - 4}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x - 4}{x^{2}}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 4$ und $g (x) = x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.1.1.2.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.1.1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.2.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.1.1.2.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 4) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.1.1.2.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1.1.2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 (x - 4) x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.1.2.7.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 (x - 4) x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.2.7.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 (x - 4) x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.1.2.7.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (x - 4) x$ heraus.

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 4))}{x^{4}}$

Schritt 2.1.1.2.7.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 2 (x - 4))$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 4))}{x^{4}}$

Schritt 2.1.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 4))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 4))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x - 2 (x - 4)}{x^{3}}$

Schritt 2.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x - 2 x - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x + 8}{x^{3}}$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 8}{x^{3}}$

Schritt 2.1.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f' (x) = \frac{- (x) + 8}{x^{3}}$

Schritt 2.1.1.4.4

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$f' (x) = \frac{- (x) - 1 \cdot - 8}{x^{3}}$

Schritt 2.1.1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 8)$ heraus.

$f' (x) = \frac{- (x - 8)}{x^{3}}$

Schritt 2.1.1.4.6

Schreibe $- (x - 8)$ als $- 1 (x - 8)$ um.

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 8)}{x^{3}}$

Schritt 2.1.1.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x - 8}{x^{3}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{x - 8}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x - 8}{x^{3}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.2

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.3.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (1 + 0) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \cdot 1 - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.3.5.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} - (x - 8) (3 x^{2})}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.3.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1.2.3.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} - 3 (x - 8) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.3.7.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} - 3 (x - 8) x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.3.7.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} x - 3 (x - 8) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.3.7.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 (x - 8) x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} x + x^{2} (- 3 (x - 8))}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.3.7.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} (- 3 (x - 8))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (x - 3 (x - 8))}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (x - 3 (x - 8))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (x - 3 (x - 8))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot 0$

Schritt 2.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{x - 8}{x^{3}}$ mit $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}} + 0$

Schritt 2.1.2.6.2

Addiere $- \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{x - 3 x - 3 \cdot - 8}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.7.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 3 x + 24}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.7.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x + 24}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.7.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 24$ heraus.

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Schritt 2.1.2.7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- x) + 24}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- x) + 2 (12)}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.7.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (12)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- x + 12)}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x) + 12)}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.7.5

Schreibe $12$ als $- 1 (- 12)$ um.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x) - 1 \cdot - 12)}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 12)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x - 12))}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.7.7

Schreibe $- (x - 12)$ als $- 1 (x - 12)$ um.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x - 12))}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.7.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x - 12)}{x^{4}})$

Schritt 2.1.2.7.10

Mutltipliziere $\frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$ .

$\frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 (x - 12)}{x^{4}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 (x - 12)}{x^{4}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (x - 12) = 0$

Schritt 2.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x - 12) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x - 12) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x - 12)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x - 12)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.3.1.2.1.2

Dividiere $x - 12$ durch $1$ .

$x - 12 = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x - 12 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 12$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x - 4}{x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 4}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 12) \cup (12, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 ((- 2) - 12)}{{(- 2)}^{4}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und ${(- 2)}^{4}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2 ((- 2) - 12)}{{(- 2)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 1 (- 2) (- 2 - 12)$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 (- 1 (- 2 - 12))}{{(- 2)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.3.1

Faktorisiere $- 2$ aus ${(- 2)}^{4}$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 (- 1 (- 2 - 12))}{- 2 {(- 2)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 (- 1 (- 2 - 12))}{- 2 {(- 2)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 2) = \frac{- 1 (- 2 - 12)}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $12$ von $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 14}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 14}{- 8}$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 14$ .

$f'' (- 2) = \frac{14}{- 8}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $- 8$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{2 (7)}{- 8}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 2) = \frac{7}{- 4}$

Schritt 5.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 2) = - \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 0)$ konkav, weil $f'' (- 2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, 12)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{2 ((2) - 12)}{{(2)}^{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus ${(2)}^{4}$ heraus.

$f'' (2) = \frac{2 ((2) - 12)}{2 \cdot 2^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (2) = \frac{2 ((2) - 12)}{2 \cdot 2^{3}}$

Schritt 6.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (2) = \frac{(2) - 12}{2^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $12$ von $2$ .

$f'' (2) = \frac{- 10}{2^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{- 10}{8}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $8$ .

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$f'' (2) = \frac{2 (- 5)}{8}$

Schritt 6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (2) = \frac{- 5}{4}$

Schritt 6.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (2) = - \frac{5}{4}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(0, 12)$ konkav, weil $f'' (2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(0, 12)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(12, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $14$ .

$f'' (14) = \frac{2 ((14) - 12)}{{(14)}^{4}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.1.1

Subtrahiere $12$ von $14$ .

$f'' (14) = \frac{2 \cdot 2}{14^{4}}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $14$ mit $4$ .

$f'' (14) = \frac{2 \cdot 2}{38416}$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (14) = \frac{4}{38416}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $38416$ .

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f'' (14) = \frac{4 (1)}{38416}$

Schritt 7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $38416$ heraus.

$f'' (14) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 9604}$

Schritt 7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (14) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 9604}$

Schritt 7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (14) = \frac{1}{9604}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{9604}$ .

$\frac{1}{9604}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(12, \infty)$ konvex, weil $f'' (14)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(12, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konkav im Intervall $(0, 12)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(12, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9