Analysis Beispiele

$x^{3}$

Step 1

Schreibe $x^{3}$ als Funktion.

$f (x) = x^{3}$

Step 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x)$

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 x$

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x$ .

$6 x$

Step 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$6 x = 0$

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 0$ durch $6$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 0$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dividiere $0$ durch $6$ .

$x = 0$

Step 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze $0$ in $f (x) = x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{3}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0$

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Step 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 6 (- 0.1)$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $6$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.6$

Die endgültige Lösung ist $- 0.6$ .

$- 0.6$

Bei $- 0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.6$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 0)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Step 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = 6 (0.1)$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $6$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.6$

Die endgültige Lösung ist $0.6$ .

$0.6$

Bei $0.1$ ist die zweite Ableitung $0.6$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Step 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Step 9