Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4}$

Step 1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2})$

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Step 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} = 0$

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 0$ durch $12$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 0$ durch $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{12}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dividiere $0$ durch $12$ .

$x^{2} = 0$

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Step 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze $0$ in $f (x) = x^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0$

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = x^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Step 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 0.1$ mit $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01$

Mutltipliziere $12$ mit $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12$

Die endgültige Lösung ist $0.12$ .

$0.12$

Bei $- 0.1$ ist die zweite Ableitung $0.12$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Step 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01$

Mutltipliziere $12$ mit $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12$

Die endgültige Lösung ist $0.12$ .

$0.12$

Bei $0.1$ ist die zweite Ableitung $0.12$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Step 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus nach Minus oder von Minus nach Plus ändert. Es gibt keine Punkte auf dem Graph, die diese Bedingungen erfüllen.

Keine Wendepunkte