Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$

Step 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Mutltipliziere $x^{2} - 4$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Vereinfache den Ausdruck.

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Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Step 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Setze den Zähler gleich Null.

$- x^{2} - 4 = 0$

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = 4$

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Vereinfache die linke Seite.

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Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$x^{2} = - 4$

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 2$

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i$

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i, - 2 i$

Step 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Step 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Setze den Nenner in $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Löse nach $x$ auf.

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Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x - 2)$ an.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Löse ${(x + 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2$

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 2, x = 2$

Step 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Step 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- {(- 3)}^{2} - 4}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Vereinfache das Ergebnis.

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Vereinfache den Zähler.

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Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1 \cdot 9 - 4}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f' (- 3) = \frac{- 9 - 4}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Subtrahiere $4$ von $- 9$ .

$f' (- 3) = \frac{- 13}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 13}{{(9 - 4)}^{2}}$

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$f' (- 3) = \frac{- 13}{5^{2}}$

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 13}{25}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 3) = - \frac{13}{25}$

Die endgültige Lösung ist $- \frac{13}{25}$ .

$- \frac{13}{25}$

Bei $x = - 3$ ist die Ableitung $- \frac{13}{25}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 2)$ da $f' (x) < 0$

Step 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = \frac{- {(0)}^{2} - 4}{{({(0)}^{2} - 4)}^{2}}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

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$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = \frac{- 0 - 4}{{(0^{2} - 4)}^{2}}$

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 4}{{(0^{2} - 4)}^{2}}$

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$f' (0) = \frac{- 4}{{(0^{2} - 4)}^{2}}$

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = \frac{- 4}{{(0 - 4)}^{2}}$

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$f' (0) = \frac{- 4}{{(- 4)}^{2}}$

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (0) = \frac{- 4}{16}$

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f' (0) = \frac{4 (- 1)}{16}$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Forme den Ausdruck um.

$f' (0) = \frac{- 1}{4}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (0) = - \frac{1}{4}$

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $- \frac{1}{4}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 2, 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 2, 2)$ da $f' (x) < 0$

Step 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = \frac{- {(3)}^{2} - 4}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

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Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = \frac{- 1 \cdot 9 - 4}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f' (3) = \frac{- 9 - 4}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

Subtrahiere $4$ von $- 9$ .

$f' (3) = \frac{- 13}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = \frac{- 13}{{(9 - 4)}^{2}}$

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$f' (3) = \frac{- 13}{5^{2}}$

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (3) = \frac{- 13}{25}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (3) = - \frac{13}{25}$

Die endgültige Lösung ist $- \frac{13}{25}$ .

$- \frac{13}{25}$

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $- \frac{13}{25}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(2, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(2, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Step 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 2), (- 2, 2), (2, \infty)$

Step 10