Analysis Beispiele

$\sqrt{x^{2} - 1}$

Step 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{y^{2} - 1}$

Step 2

Löse nach $y$ auf.

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Schreibe die Gleichung als $\sqrt{y^{2} - 1} = x$ um.

$\sqrt{y^{2} - 1} = x$

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y^{2} - 1}}^{2} = x^{2}$

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y^{2} - 1}$ als ${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Vereinfache die linke Seite.

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Vereinfache ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Multipliziere die Exponenten in ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Forme den Ausdruck um.

${(y^{2} - 1)}^{1} = x^{2}$

Vereinfache.

$y^{2} - 1 = x^{2}$

Löse nach $y$ auf.

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Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = x^{2} + 1$

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 1}$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$

Step 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ ist.

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Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ und $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ und vergleiche sie.

Finde den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

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Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Find the domain of the inverse.

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Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

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Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 1 \geq 0$

Löse nach $x$ auf.

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Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq - 1$

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

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Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.

$(- \infty, \infty)$

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ keine inverse Funktion von $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Step 5