Analysis Beispiele

$\cos (\frac{x}{(2)})$

Step 1

Schreibe $\cos (\frac{x}{(2)})$ als Funktion.

$f (x) = \cos (\frac{x}{(2)})$

Step 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \cos (\frac{x}{2}) d x$

Step 4

Sei $u = \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Es sei $u = \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Step 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\int \cos (u) (1 \cdot 2) d u$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int \cos (u) \cdot 2 d u$

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (u)$ .

$\int 2 \cos (u) d u$

Step 6

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \cos (u) d u$

Step 7

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$2 (\sin (u) + C)$

Step 8

Vereinfache.

$2 \sin (u) + C$

Step 9

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Step 10

Stelle die Terme um.

$2 \sin (\frac{1}{2} x) + C$

Step 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \cos (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $2 \sin (\frac{1}{2} x) + C$