Analysis Beispiele

$f (x) = \arctan (x)$

Step 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Step 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Differenziere.

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Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Vereinfache den Ausdruck.

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Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Vereinfache.

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Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Vereine die Terme

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Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Step 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$