Analysis Beispiele

$\cos (\frac{2 x}{3})$

Step 1

Schreibe $\cos (\frac{2 x}{3})$ als Funktion.

$f (x) = \cos (\frac{2 x}{3})$

Step 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

Step 4

Sei $u = \frac{2 x}{3}$ . Dann ist $d u = \frac{2}{3} d x$ , folglich $\frac{3}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Es sei $u = \frac{2 x}{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Differenziere $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3}$

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

Step 5

Vereinfache.

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Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{2}{3}$ zu dividieren.

$\int \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$\int \cos (u) \frac{3}{2} d u$

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (u)$ .

$\int \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

Step 6

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} \int \cos (u) d u$

Step 7

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{3}{2} (\sin (u) + C)$

Step 8

Vereinfache.

$\frac{3}{2} \sin (u) + C$

Step 9

Ersetze alle $u$ durch $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{3}{2} \sin (\frac{2 x}{3}) + C$

Step 10

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{2} \sin (\frac{2}{3} x) + C$

Step 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \cos (\frac{2 x}{3})$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} \sin (\frac{2}{3} x) + C$