Analysis Beispiele

$\cos (θ) = \frac{5}{11}$

Step 1

Benutze die Definition des Kosinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Step 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Step 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{(11)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Step 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Potenziere $11$ mit $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{121 - {(5)}^{2}}$

Potenziere $5$ mit $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{121 - 1 \cdot 25}$

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

Gegenkathete $= \sqrt{121 - 25}$

Subtrahiere $25$ von $121$ .

Gegenkathete $= \sqrt{96}$

Schreibe $96$ als $4^{2} \cdot 6$ um.

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Faktorisiere $16$ aus $96$ heraus.

Gegenkathete $= \sqrt{16 (6)}$

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

Gegenkathete $= \sqrt{4^{2} \cdot 6}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

Gegenkathete $= 4 \sqrt{6}$

Step 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{4 \sqrt{6}}{11}$

Step 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{4 \sqrt{6}}{5}$

Step 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{5}{4 \sqrt{6}}$

Vereinfache den Wert von $\cot (θ)$ .

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Mutltipliziere $\frac{5}{4 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cot (θ) = \frac{5}{4 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Mutltipliziere $\frac{5}{4 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Bewege $\sqrt{6}$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 {\sqrt{6}}^{2}}$

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Forme den Ausdruck um.

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 \cdot 6}$

Berechne den Exponenten.

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 \cdot 6}$

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{24}$

Step 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{11}{5}$

Step 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{11}{4 \sqrt{6}}$

Vereinfache den Wert von $\csc (θ)$ .

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Mutltipliziere $\frac{11}{4 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\csc (θ) = \frac{11}{4 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Mutltipliziere $\frac{11}{4 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Bewege $\sqrt{6}$ .

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 {\sqrt{6}}^{2}}$

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 \cdot 6}$

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 \cdot 6}$

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{24}$

Step 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = \frac{4 \sqrt{6}}{11}$

$\cos (θ) = \frac{5}{11}$

$\tan (θ) = \frac{4 \sqrt{6}}{5}$

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{24}$

$\sec (θ) = \frac{11}{5}$

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{24}$