Analysis Beispiele

$y = 2 e^{x} \cos (x)$

Step 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{x} \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Vereinfache.

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Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Step 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \sin (x)]$ .

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Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 e^{x} \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$ .

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Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{x} \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Vereinfache.

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Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x)) - 2 (\sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x)) - 2 (\sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Vereine die Terme

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Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 2 \sin (x) e^{x} - 2 (e^{x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Subtrahiere $2 e^{x} \sin (x)$ von $- 2 \sin (x) e^{x}$ .

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Bewege $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Subtrahiere $2 e^{x} \sin (x)$ von $- 2 e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 4 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Addiere $- 2 e^{x} \cos (x)$ und $2 \cos (x) e^{x}$ .

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Bewege $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \cos (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Addiere $- 2 e^{x} \cos (x)$ und $2 e^{x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 e^{x} \sin (x) + 0$

Addiere $- 4 e^{x} \sin (x)$ und $0$ .

$f'' (x) = - 4 e^{x} \sin (x)$