Analysis Beispiele

$f (x) = 6 x - 3 x \ln (x)$

Step 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 3 x \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$6 - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$6 - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$6 - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Forme den Ausdruck um.

$6 - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$6 - 3 (1 + \ln (x))$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende das Distributivgesetz an.

$6 - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$6 - 3 - 3 \ln (x)$

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$3 - 3 \ln (x)$

Step 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 3 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{1}{x}$

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 3}{x}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

Subtrahiere $\frac{3}{x}$ von $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

Step 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$3 - 3 \ln (x) = 0$

Step 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 3 x \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f' (x) = 6 - 3 \frac{d}{d x} (x \ln (x))$

$f' (x) = 6 - 3 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))$

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 6 - 3 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 6 - 3 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1)$

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = 6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = 6 - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$f' (x) = 6 - 3 (1 + \ln (x))$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 6 - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f' (x) = 6 - 3 - 3 \ln (x)$

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$f' (x) = 3 - 3 \ln (x)$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 - 3 \ln (x)$ .

$3 - 3 \ln (x)$

Step 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 - 3 \ln (x) = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 - 3 \ln (x) = 0$

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 \ln (x) = - 3$

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \ln (x) = - 3$ durch $- 3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \ln (x) = - 3$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{- 3}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dividiere $- 3$ durch $- 3$ .

$\ln (x) = 1$

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Schreibe $\ln (x) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Schreibe die Gleichung als $x = e^{1}$ um.

$x = e$

Step 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Step 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = e$

Step 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = e$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{3}{e}$

Step 9

$x = e$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = e$ ist ein lokales Maximum

Step 10

Ermittele den y-Wert, wenn $x = e$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $e$ .

$f (e) = 6 (e) - 3 e \ln (e)$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (e) = 6 e - 3 e \cdot 1$

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f (e) = 6 e - 3 e$

Subtrahiere $3 e$ von $6 e$ .

$f (e) = 3 e$

Die endgültige Lösung ist $3 e$ .

$y = 3 e$

Step 11

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 6 x - 3 x \ln (x)$ .

$(e, 3 e)$ ist ein lokales Maximum

Step 12