Analysis Beispiele

$\frac{1}{2} x \ln (x^{4})$ , $(- 1, 0)$

Step 1

Schreibe $\frac{1}{2} x \ln (x^{4})$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{2} x \ln (x^{4})$

Step 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 1$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{4})]$

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $\ln (x^{4})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{4})}{2}]$

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x \ln (x^{4})}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $\frac{1}{x^{4}}$ und $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{x^{3}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Kombiniere $\frac{4}{x^{3}}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \cdot 1)$

Mutltipliziere $\ln (x^{4})$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}))$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \ln (x^{4}) + 2$

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (x^{4})$ .

$\frac{\ln (x^{4})}{2} + 2$

Zerlege $\ln (x^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$\frac{4 \ln (x)}{2} + 2$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2$ aus $4 \ln (x)$ heraus.

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2} + 2$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 (1)} + 2$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 \cdot 1} + 2$

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \ln (x)}{1} + 2$

Dividiere $2 \ln (x)$ durch $1$ .

$2 \ln (x) + 2$

Bestimme die Ableitung bei $x = - 1$ .

$2 \ln (- 1) + 2$

Der natürliche Logarithmus einer negativen Zahl ist nicht definiert.

Undefiniert

Step 3

Die Steigung der Geraden ist nicht definiert, was bedeutet, dass sie durch $x = - 1$ senkrecht zur x-Achse verläuft.

$x = - 1$

Step 4