Analysis Beispiele

$\cos (π x)$

Step 1

Schreibe $\cos (π x)$ als Funktion.

$f (x) = \cos (π x)$

Step 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = π x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $π x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]$

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]$

Ersetze alle $u$ durch $π x$ .

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$- \sin (π x) π$

Stelle die Faktoren von $- \sin (π x) π$ um.

$- π \sin (π x)$

Step 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- π \sin (π x)$ nach $x$ gleich $- π \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$f'' (x) = - π \frac{d}{d x} \sin (π x)$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = π x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $π x$ .

$f'' (x) = - π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (π x))$

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - π (\cos (u) \frac{d}{d x} (π x))$

Ersetze alle $u$ durch $π x$ .

$f'' (x) = - π (\cos (π x) \frac{d}{d x} (π x))$

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - π \cos (π x) (π \frac{d}{d x} (x))$

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - π^{1 + 1} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \cdot 1$

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x)$

Step 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- π \sin (π x) = 0$

Step 5

Teile jeden Ausdruck in $- π \sin (π x) = 0$ durch $- π$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $- π \sin (π x) = 0$ durch $- π$ .

$\frac{- π \sin (π x)}{- π} = \frac{0}{- π}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Dividiere $\sin (π x)$ durch $1$ .

$\sin (π x) = \frac{0}{- π}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dividiere $0$ durch $- π$ .

$\sin (π x) = 0$

Step 6

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$π x = \arcsin (0)$

Step 7

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$π x = 0$

Step 8

Teile jeden Ausdruck in $π x = 0$ durch $π$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $π x = 0$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dividiere $0$ durch $π$ .

$x = 0$

Step 9

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$π x = π - 0$

Step 10

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π x = π + 0$

Addiere $π$ und $0$ .

$π x = π$

Teile jeden Ausdruck in $π x = π$ durch $π$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $π x = π$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{π}$

Forme den Ausdruck um.

$x = 1$

Step 11

Die Lösung der Gleichung $π x = 0$ .

$x = 0, 1$

Step 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- π^{2} \cos (π (0))$

Step 13

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$- π^{2} \cos (0)$

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- π^{2} \cdot 1$

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- π^{2}$

Step 14

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Step 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \cos (π (0))$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$f (0) = \cos (0)$

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (0) = 1$

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Step 16

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- π^{2} \cos (π (1))$

Step 17

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$- π^{2} \cos (π)$

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- π^{2} (- \cos (0))$

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- π^{2} (- 1 \cdot 1)$

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- π^{2} \cdot - 1$

Multipliziere $- π^{2} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 π^{2}$

Mutltipliziere $π^{2}$ mit $1$ .

$π^{2}$

Step 18

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Step 19

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \cos (π (1))$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$f (1) = \cos (π)$

$f (1) = - \cos (0)$

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1$

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = - 1$

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Step 20

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \cos (π x)$ .

$(0, 1)$ ist ein lokales Maximum

$(1, - 1)$ ist ein lokales Minimum

Step 21